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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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12. Sea $f(x)=\frac{(5 x-k)^{2}}{x}, \operatorname{con} k \in \mathbb{R}$.
b) Para cada valor de $k$ hallado en a), determinar todos los extremos locales de $f$.

Respuesta

Parecía un ejercicio simple pero nos la quisieron complicar jeje. Bueno, a ver, vamos a hacer el análisis. 

Cuando $k=5$ tendremos \( f(x) = \frac{(5x - 5)^2}{x} \); y para $k=-5$ tendremos \( f(x) = \frac{(5x + 5)^2}{x} \). 


-> Vamos con la primera, \( f(x) = \frac{(5x - 5)^2}{x} \):

La función está definida siempre que el denominador no sea cero:
$ x \neq 0 $ Entonces el dominio de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} - \{0\} \)

Calculemos la derivada:

Primero, reescribimos \( f(x) \) de una forma más manejable:
$ f(x) = \frac{(5x - 5)^2}{x} = \frac{(5(x - 1))^2}{x} = \frac{5^2(x - 1)^2}{x} = \frac{25(x - 1)^2}{x} $

$ f(x) = 25 \frac{(x - 1)^2}{x}  $


$ f'(x)= 25\frac{((x - 1)^2)' \cdot x - (x - 1)^2 \cdot x'}{x^2} $


$ f'(x)= 25 \frac{2(x - 1) \cdot x - (x - 1)^2}{x^2} $


$ f'(x)= 25 \frac{2x(x - 1) - (x - 1)^2}{x^2} $


$f'(x) = 25 \frac{2x^2 - 2x - (x^2 - 2x + 1)}{x^2} $


$ f'(x)= 25 \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 2x - 1}{x^2} $


$f'(x) = 25 \frac{x^2 - 1}{x^2} $
$ f'(x) = 25 - \frac{25}{x^2} $

Hallemos los Puntos Críticos
Los puntos críticos se encuentran resolviendo \( f'(x) = 0 \): $ 25 - \frac{25}{x^2} = 0 $
$ 25 = \frac{25}{x^2} $
$ x^2 = 1 $
$ |x| = 1 $

$x= -1$  y  $x=1$

Es decir que los PCs son $x= -1$  y  $x=1$.


Para hallar los extremos locales podemos evaluar el signo de la derivada a ambos lados de los PCs o calcular la segunda derivada. Yo voy a hacer la segunda derivada para mostrarte cómo sería, pero vos podés hacer el otro camino que es más largo pero más común.


Calculamos la segunda derivada:
$ f'(x) = 25 - \frac{25}{x^2} $
Derivamos nuevamente:
$ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 25 - \frac{25}{x^2} \right) $

$ f''(x) = 0 + 25 \cdot \left( \frac{2}{x^3} \right) $

$ f''(x) = \frac{50}{x^3} $

Ahora evaluamos \( f''(x) \) en los puntos críticos:

Para \( x = 1 \): $ f''(1) = \frac{50}{1^3} = 50 $ Como \( f''(1) > 0 \), \( x = 1 \) es un mínimo local.
Para \( x = -1 \): $ f''(-1) = \frac{50}{(-1)^3} = -50 $ Como \( f''(-1) < 0 \), \( x = -1 \) es un máximo local.




-> Hacemos lo mismo para la función  \( f(x) = \frac{(5x + 5)^2}{x} \), cuando $k=-5$:
Determinar el Dominio de \( f(x) \) La función está definida siempre que el denominador no sea cero:
$ x \neq 0 $ $ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} -\{0\} $

Calculamos \( f'(x) \) Primero, reescribimos \( f(x) \) de una forma más manejable:
$ f(x) = \frac{(5x + 5)^2}{x} = \frac{25(x + 1)^2}{x} $
Para derivar, usaremos la regla del cociente:
$ f(x) = 25 \left( \frac{(x + 1)^2}{x} \right) $ $f'(x) = \frac{2(x + 1) \cdot x - (x + 1)^2}{x^2} $

$f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x + 1)^2}{x^2} $

$ f'(x)= \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1}{x^2} $

$ f'(x)= 25 \frac{x^2 - 1}{x^2} $

$ f'(x) = 25 \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) = 25 - \frac{25}{x^2} $

Buscamos los los Puntos Críticos $ 25 - \frac{25}{x^2} = 0 $
$ 25 = \frac{25}{x^2} $

$ x^2 = 1 $ 

$ |x| = 1 $

$x= -1$  y  $x=1$

Es decir que los PCs son $x= -1$  y  $x=1$.


Para hallar los extremos locales podemos evaluar el signo de la derivada a ambos lados de los PCs o calcular la segunda derivada. Yo voy a hacer la segunda derivada para mostrarte cómo sería, pero vos podés hacer el otro camino que es más largo pero más común.
  Calculamos la segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos:
$ f'(x) = 25 - \frac{25}{x^2} $ Derivamos nuevamente:
 
$ f''(x) = 0 + \frac{25 \cdot 2}{x^3} $
$ f''(x) = \frac{50}{x^3} $


Evaluamos \( f''(x) \) en los puntos críticos: Para \( x = 1 \):
$ f''(1) = \frac{50}{1^3} = 50 $
Como \( f''(1) > 0 \), \( x = 1 \) es un mínimo local. Para \( x = -1 \):
$ f''(-1) = \frac{50}{(-1)^3} = -50 $
Como \( f''(-1) < 0 \), \( x = -1 \) es un máximo local.





Respuesta: 

En ambas funciones, \( x = 1 \) es un mínimo local y \( x = -1 \) es un máximo local.
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Avatar Bel 9 de junio 15:36
Juli, no comprendo esta parte del ejercicio... yo hubiera usado la derivada que hicimos en el punto a en vez de hacer una nueva derivada como hiciste acá. Y busco los puntos en una derivada con k=5 y con la otra en k=-5. Es incorrecto?
Avatar Blas 17 de marzo 19:40
Venía tan bien! Me olvidé un f### parentesis y me fui a la b XD. LCDLL. 
Avatar Julieta Profesor 18 de marzo 17:58
@Blas Puede pasar..😅 Lo importante es equivocarte ahora y notarlo, no en el parcial jeje
Avatar Blas 18 de marzo 21:12
@Julieta Es verdad! igualmente, lo estoy haciendo de hobby, no estoy en el cbc 
Avatar Daniela 17 de junio 20:27
hola juli me mato la escritura mas sencilla antes de derivar, como puedo practicar eso??? hay algun video??
gracias!!!!!!

Avatar Julieta Profesor 25 de junio 15:28
@Daniela Hola Dani, yo lo hice así porque me pareció más fácil, no hace falta que vos lo hagas así. Pero mirá, ahí lo desarrollé un poquito más para que veas cómo lo hice. Fue sacar factor común al 5 en el numerador y aplicar la propiedad de poder distribuir la potencia en el producto
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